Головна | Правила | Додати твір | Новини | Анонси | Співпраця та реклама | Про проект | Друзі проекту | Карта сайта | Зворотній зв'язок

Монументальный обзор Гильберта

23.04.2011

6 сентября 1888 года Гильберт послал короткую заметку в журнал Геттингенского научного общества. В этой заметке он дал набросок совершенно неожиданного и оригинального способа доказательства теоремы Гордана, годного одновременно для форм от любого числа неизвестных. Эта работа была первым примером черты, характерной для мышления Гильберта, – «естественная наивность мысли, не покоящаяся на авторитете или предшествующем опыте» , как выразился позже один из его учеников. Вскоре после опубликования полного доказательства теоремы знаменитый «король инвариантов» Гордан изумленный воскликнул: «Это не математика. Это теология» Решение Гильберта не было конструктивным, оно лишь доказывало существование базиса, но не давало явной конструкции для его построения.


В последующие два года Гильберт не оставляет проблему Гордана, пытаясь дать ей конструктивное доказательство. Наконец в 1892 году ему удалось предложить метод, позволяющий, по существу, за конечное число шагов получить искомую конструкцию. Хотя Гильберт не был первым, кто использовал косвенные, не конструктивные доказательства, он был первым, кто осознал их глубокое значение и силу, а также смог воспользоваться ими в драматических и чрезвычайно красивых ситуациях. При решении проблемы Гордана Гильберт нашел себя и свой метод атаки знаменитой проблемы, решение которой по своему значению намного превосходило саму проблему. Впервые случилось что-то совершенно неожиданное. Вначале проблема была решена, а ее решение полностью освободило его от нее. В заключении своей работы по теории инвариантов он писал: «Тем самым мне кажется что важнейшие цели теории функциональных полей инвариантов достигнуты» . Поле этого Гильберг покидает теорию инвариантов. Теория чисел В последующие три года Гильберт повышался в академических рангах и делал то, что делает в этот период времени большинство молодых людей, – женился, стал отцом, получил важное назначение.


Наряду с переменами в личной жизни и общественном положении, Гильберт начал проявлять и новый математический интерес. «Отныне я целиком посвящу себя теории чисел» , – писал он своему другу Минковскому вскоре после окончания последней работы об инвариантах. Теперь он занялся этой новой областью. Хорошо известно, что Гаусс считал теорию чисел вершиной науки. Он отозвался о ней как о «неистощимом источнике новых истин» . Гильберт относился к теории чисел как к «зданию редкой красоты и гармонии» . Как и Гаусса, его привлекала красота ее фундаментальных законов, малое количество определений и чистота ее истин; оба они в равной степени были восхищены различием между очевидностью формулировок и «чудовищной» трудностью их доказательств. В последующие годы Гильберт интенсивно занимается теорией чисел. Делая первые шаги ему удалось найти чрезвычайно легкие и простые доказательства трансцендентности чисел e и pi, а также теорем о разложении алгебраических чисел на простые идеалы. В то время германское математическое общество ежегодно публиковало обширные обзоры в различных областях математики. Очередной обзор по теории чисел было решено поручить подготовить Гильберту и Минковскому. Гильберт с усердием принимается за новую и интересную для него работу. Хотя до сих пор он не питал склонности к изучению теории по книгам, теперь он прочитал все изданное по теории чисел со времен Гаусса. Доказательства всех известных теорем надо было обдумать. Затем ему следовало отобрать из них те, «идеи которых поддаются обобщению и наиболее перспективны для дальнейших исследований» . Однако для этого необходимо было провести эти «дальнейшие исследования» . Кроме того, нужно было устранять те трудности стиля и мышления предшествующих исследователей, которые ставили преграду для общего понимания и признания их работ. На проведение всех этих обширных работ Гильберту понадобилось три года (Минковский вскоре выбыл из участия в этом проекте) .


Монументальный обзор Гильберта появился в 1896 году. Представленный Гильбертом труд в бесконечное число раз превосходил все то, на что могло рассчитывать Общество. На самом деле его обзор представляет собой жемчужину литературы. Заполнив пробелы большим количеством своих собственных исследований, Гильберт придал этой теории величественную унифицированную форму. В 1895 году по приглашению Клейна Гильберт приезжает работать в Геттингенский университет. Великая научная традиция Геттингена идет от Карла Фридриха Гаусса, который всю свою жизнь провел в этом городе, оставив свой след во всех областях чистой и прикладной математики. В конце жизни, заняв в истории своей науки место наряду с Архимедом и Ньютоном, он всегда вспоминает свои первые года в Геттингене как счастливые годы. Гильберт приехал в Геттинген через сто лет после Гаусса, знаменитый университет получил еще одного великого математика, который продолжил традицию. За восемь с половиной лет в Кенигсберге Гильберт не повторил не одного предмета, «за одним небольшим исключением» – одночасового курса по определителям. Теперь в Геттингене ему было легко выбирать темы своих лекций, согласованные с пожеланиями Клейна. В первом семестре он читал курсы по теории определителей и эллиптических функций, а также вместе с Клейном каждое утро по средам вел семинар по действительным функциям Закончив свой обзор Гильберт занялся давно задуманными собственными исследованиями. Главным его интересом было обобщение закона взаимности на поля алгебраических чисел. В классической теории чисел квадратичный закон взаимности, известный еще Лежандру, был вновь открыт и впервые строго доказан Гауссом, когда ему было 18 лет. Гаусс всю жизнь считал его жемчужиной теории чисел, и возвращался к нему много раз, дав ему пять различных доказательств. Этот закон описывает замечательные соотношения между парой простых чисел и остатками от деления квадратов целых чисел на них. Изучая классический закон взаимности Гаусса, Гильберту удалось переформулировать его в простой и красивой форме, которая имела смысл и для полей алгебраических чисел. Это позволило ему с необычайной ясностью угадать формулировку закона взаимности для степеней, больших 2, хотя он и не смог доказать его во всех случаях. Венцом его работы в этой области была статья» О теории относительно абелевых полей» . В этой работе, по существу программной по своему характеру, он дал набросок обширной теории, получившей известность как теория полей классов, и развил методы и понятия, необходимые для дальнейших исследований. Будущим математикам это казалось «божественным откровением» – нигде в других его работах не была так явно продемонстрирована его математическая интуиция. В отличии от работы по теории инвариантов, положивший конец развитию теории, работе по полям алгебраических чисел было суждено стать началом исследований.


Страницы: 1 2 3


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
© 2000–2017 "Литература"